الدالة الاسية و اللوغارتمية

أولاً يجب أن تكون ملم جيداً بقوانين
الأسس واللوغاريتمات نذكر منها ما يلى :

قوانين الأسس :

س^(أ+ب) = س^أ × س^ب

س^(أ×ب) = (س^أ)^ب او العكس .

أ^0 = 1 حيث أ ≠ 0

النتيجة :

أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)

لأن : د(0) = أ^0 = 1

نتيجة(2) : اى دالة أسية تقطع ما مقداره واحد من محور الصادات .


قوانين اللوغاريتمات :



لو(1) = 0 ، لوأ = 1
أ أ


لوب
لوب = ــــــــــــــ
أ لوأ


بحيث أ ، ب ينتمى الى ح+


اذا كان : أ^س = ب فإن : لوأ^س = لوب

ومنها : س لوأ = لوب ومنها :


لوب
س = ــــــــــــــ = لوب
لوأ أ


وتنطق لوغاريتم ب للأساس أ .

مباشرة ً بدون أجراء هذه الخطوات مرة ثانية نقول :

اذا كان : أ^س = ب فإن س = لوب
أ

والعكس صحيح : يعنى : اذا كان : س= لوب
أ

فإن : أ^س = ب


نظرية : أ^لوس = س
أ

يعنى اذا وجد اساس مرفوع للوغاريتم س لنفس الأساس
فإن قيمة هذا المقدار = س

والعكس صحيح يعنى يمكن نقول : س = أ^لوس
أ

ما ينطبق على اللوغاريتم العادية ينطبق أيضاً على
اللوغاريتم النيبيرى (او اللوغاريتم الطبيعى)

اذا كان العدد النيبيرى هـ حيث هـ ≈ 2.71828

فإن لوس = لط (س)
هـ

أى انه لط هى إختصار لـ لو
هـ

................................................................
نأتى الآن لموضوع العدد النيبيرى ونشرحه بالتفصيل :

د(س) = أ^س حيث أ ينتمى لـ ح+


تعليل أ ينتمى لـ ح+ لأنه لو كانت أ سالبة فإن الدالة
تصبح متذبذبة : مثال : د(س) = (-2)^س

د(1) = -2 ، د(2) = 4 ، د(3) = -8

لاحظ : موجب .. سالب .. موجب ....

اذاً الدالة لا تأخذ شكل منحنى معين نستطيع إجراء الإشتقاق عليه .
فلا هى تزايدية ولا هى تناقصية (متذبذبة) اذاً نستثنى أن تكون
أ قيمة سالبة .

قانون معدل التغير :

د(س+∆) - د(س)
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆


لاحظ وضعت ∆ بدلاً من الرمز المعتاد (هـ) للتفرقة بينه
وبين العدد النيبيرى هـ .

ملحوظة أخرى : الأفضل أن نكتب ∆س وتعنى معدل تغير
س والذى يؤول الى الصفر كما هو واضح، ولكن للإختصار
فقط وضعتها هكذا ∆ .


د(س) = أ^س دالة الأسية للأساس الموجب أ .


أ^(س+∆) - أ^س
دَ(س) = نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆


أ^س أ^∆ - أ^س
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆


أ^∆ - 1
= نهـــــــــا أ^س × ـــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆

للاحظ النهاية تشير على متغير ∆←0 ولا تشير
الى س .. يعنى النهاية بالنسبة لـ ∆ اذاً :

أ^∆ - 1
= أ^س نهـــــــا ــــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆


أنه من السهل ايجاد هذه النهاية بقاعدة لوبيتال عندما ∆←0
نشتق البسط مرة والمقام مرة .



نهــــــــا = مشتقة (أ^∆) عندما ∆ = 0
∆←0

لاحظ أ^∆ هى دالة أسية أيضاً (ان شئت ففقل هى نفسها)


اذاً : نهــــــــا = دَ(0)
∆←0

كيف نثبت ذلك بطريقة رياضياتية ؟

ببساطة شديدة جداً اوجد مشتقة الدالة عند الصفر ..


أ^∆ - 1
قولنا : دَ(س) = أ^س نهـــــــا ــــــــــــــــــــــ
∆←0 ∆


أ^∆ - 1
دَ(0) = أ^0 نهـــــــا ــــــــــــــــــــــ ولكن أ^0 = 1
∆←0 ∆



أ^∆ - 1
اذاً : نهـــــــا ــــــــــــــــــــ = دَ(0)
∆←0 ∆



مشتقة الدالة الأسية : اذا كانت : د(س) = أ^س


فإن : دَ(س) = أ^س دَ(0)

مثال : د(س) = 2^س اذاً دَ(س) = 2^س دَ(0)

إرسم هذه الدالة (رسم تقريبى) ولسنا بحاجة للتعويض
بإعداد كثيرة ،فقط ارسم الدالة فى الفترة [1 ، -1]
هل تستطيع أن تقترب من قيمة دَ(0) من الرسم ؟
الإجابة : نعم تستطيع ذلك : ارسم الدالة فى الفترة
السابقة وقلنا أن أى دالة أسية تمر بالنقطة (0 ، 1)
ومن ثم إرسم ميل الخط المماس عندما س = 0
او عند النقطة (0 ، 1) : لاحظ ان ميل الدالة موجب
لأن الزاوية التى يصنعها الخط المماس مع محور السينات
فى الإتجاه الموجب له زواية حادة .


طول المقطع الصادى
الميل= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طول المقطع السينى


نريد أن نصل الى ماذا ؟

نريد ان نصل الى هل هذا الميل قيمته عدد صحيح ؟
مثلاً : هل قيمته 1 ؟

بالتأكيد اذا كان المقطع الصادى أقل من المقطع السينى
فإن البسط أقل من المقام وبالتالى النتيجة الق من الواحد .
واذا حدث العكس تكون النتيجة أكبر من الواحد ، واذا حدث
ان المقطع السينى = المقطع الصادى فإن النتيجة واحد تماماً

مما سبق نذكر ما يلى :

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س فإن : دَ(0) ≈ 0.6931

اذا كانت الدالة د(س) = 2^س فإن : دَ(0) ≈ 1.0986

الإستنتاج : كلما زاد الأساس كلما كانت : دَ(0) أكبر .

أى أننا نريد عدد ما (اساس للدالة) ما بين الـ 2 ، 3
بحيث تكون عنده : دَ(0) = 1

السؤال هل يهمنا ما هو العدد ؟

فى الحقيقة هذا لا يهم الآن (فيما بعد ربما نستخدمه)

الأهم هو : اننا تيقنا من أنه يوجد عدد ما بين الـ 2 ، 3
تتحقق عنده أن دَ(0) = 1

بعد عدة حسابات توصلنا الى أن العدد ≈ 2.71828
وهو العدد النيبيرى ونرمز له بالرمز هـ أو بالإنجليزية e

لماذا بحثنا عن هذا العدد بالذات ؟

لأن هذا العدد يحقق شىء غريب جداً لم يحدث فى تاريخ التفاضل
والتكامل او ان شئت فقل لم يحدث فى تاريخ الرياضيات .

د(س) = هـ^س ومنها دَ(س) = هـ^س دَ(0)

دَ(س) = هـ^س × 1 اذاً : دَ(س) = هـ^س

يتحقق من خلال ذلك أن : د(س) = دَ(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
اللوغاريتم الطبيعى :

قولنا أن مشتقة هـ^س هى نفسها .. ماذا عن 2^س ؟
او بصفة عامة ماذا عن مشتقة أ^س حيث أ عدد حقيقى
موجب فيما عدا هـ ؟

الإجابة هى اللوغاريتم الطبيعى :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

ولكن يمكن وضع الدالة أ^س فى صورة دالة للأساس هـ

من خصائص اللوغاريتمات ينتج أن : أ = هـ^لوأ
هـ

يعنى : أ = هـ^لط(أ) برفع الطرفين للقوى س .


أ^س = [هـ^لط(أ)]^س ومن خصائص الأسس ينتج :


أ^س = هـ^[لط(أ) س] اليس أ^س = د(س) ؟


اذاً : د(س) = هـ^[لط(أ) س] تحولت الى دالة الأس الطبيعى


بتطبيق (قاعدة chain rule)


دَ(س) = لط(أ) هـ^[لط(أ) س]

اليس : هـ^[لط(أ) س] = د(س) ؟

اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

أو : دَ(س) = لط(أ) أ^س

مثال : اذا كانت : د(س) = 3^س فإن دَ(س) = لط(3) × 3^س

اذا كانت الدالة : د(س) = هـ^س فإن دَ(س) = لط(هـ) × هـ^س

ولكن لط(هـ) = لوهـ = 1
هـ

اذاً : دَ(س) = هـ^س

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
مشتقة الدالة العكسية لـ هـ^س (دالة اللوغاريتم الطبيعى)

حتى لا أدخلك معى فى متاهات مثل كل مرة

ببساطة ويسر الدالة العكسية هى دالة اللوغاريتم الطبيعى
واعتقد إنك لم تدرس اللوغاريتمات بعد فى المدرسة لذلك
اذا وجدت صعوبة فى فهم ذلك فأجله الى حين آخر .

اذا قولنا : س = هـ^ص

ايجاد ص بدلالة س (هذه هى الدالة العكسية)
نقول بأخذ لط للطرفين .

لط (س) = لط هـ^ص ومن خصائص اللوغاريتمات ينتج أن :

ص = لط (س) او د(س) = لط (س)

كيف نشتق هذه الدالة ؟ نرجعها لأصلها (دالة أس طبيعى)

بما أن : د(س) = لط (س) اذاً س = هـ^د(س)

لاحظ الأس هنا دالة فى س :::: وهنا نذكر أن

مشتقة هـ^د(س) = دَ(س) هـ^د(س)

حسب قاعدة (chain rule)

اذا كانت : س = هـ^د(س) نشتقة الطرفين بالنسبة لـ س

1 = دَ(س) هـ^د(س) ولكن د(س) = لط (س) اذاً


دَ(س) هـ^ لط(س) = 1 ولكن هـ^ لط(س) = س


1
اذاً : دَ(س) س = 1 ومنها : دَ(س) = ـــــــــــ
س


1
اذاً : مشتقة لط (س) هى ـــــــــــ
س



دَ(س)
بصفة عامة : مشتقة لط[د(س)] = ــــــــــــــــــ
د(س)

بمعنى اذا كان ما داخل اللوغاريتم دالة فى س فإن :


مشتقة ما داخل اللوغاريتم
مشتقته = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ما داخل اللوغاريتم


الإثبات : نفرض أن : د(س) = لط[ق(س)]

ومنها : ق(س) = هـ^د(س) نشتق الطرفين بالنسبة لـ س


قَ(س) = دَ(س) هـ^د(س) ولكن د(س) = لط[ق(س)]


اذاً : قَ(س) = دَ(س) هـ^لط[ق(س)]

اذاً : قَ(س) = دَ(س) ق(س)


قَ(س)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــ
ق(س)

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
بعض التطبيقات على اللوغاريتم الطبيعى :-

قلت فى خطوات سابقة أن :

د(س) = أ^س

يمكن أخذ لط للطرفين .. ونكمل ولكن هذا يخرجنا عن سياق
المسألة حيث أننا لم نتتطرق بعد لمشتقة اللوغاريتم الطبيعى

الآن وبعد معرفتنا بمشتقة اللوغاريتم الطبيعى نأخذ لط للطرفين :


لط د(س) = لط أ^س ومنها لط د(س) = س لط(أ)

نشتق الطرفين بالنسبة لـ س ينتج :

دَ(س)
ـــــــــــــــ = لط(أ) ومنها دَ(س) = لط(أ) د(س)
د(س)


اذاً : دَ(س) = لط(أ) د(س)

بنفس الطريقة نثبت أنه اذا كانت : د(س) = هـ^ق(س)

فإن : دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)

الإثبات : د(س) = هـ^ق(س) بأخذ طل للطرفين

لط[د(س)] = لط[هـ^ق(س)]

لط[د(س)] = ق(س) (راجع خصائص اللوغاريتمات)

نشتق الطرفينب بالنسبة لـ س

دَ(س)
ــــــــــــــــ = قَ(س)
د(س)


اذاً : دَ(س) = قَ(س) د(س)

دَ(س) = قَ(س) هـ^ق(س)


.......................................................................

هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س ؟

بأخذ لط للطرفين : لط[د(س)] = لط س^س

لط[د(س)] = س لط (س) وبتطبيق قاعدة الضرب فى المشتقة .


دَ(س) 1
ــــــــــــــــــ = لط (س) + س× ــــــــــــ
د(س) س


دَ(س)
اذاً : ـــــــــــــ = 1 + لط (س)
د(س)



ومنها : دَ(س) = د(س) [ 1 + لط (س)] ولكن د(س) = س^س


اذاً : دَ(س) = س^س [ 1 + لط (س)]


هل تعلم ما هى مشتقة د(س) = س^س^س ؟ .. جربها بنفسك .

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
طرق عددية لحساب العدد النيبيرى :

كيف توصل جاكوب برنوللي إلى هذا العدد ؟

يحتاج إلى الأمر إلى شيء من المقدمة في
الفائدة المركبة (Compound Interest)..


لنفرض أن شخصاً أودع مبلغاً من المال مقداره س في البنك
، وهذا البنك يعطي فائدة سنوية مقدارها ف ،
والفائدة تضاف كل سنة .. كيف ذلك ؟


لنفرض أن الرجل ترك مبلغ 100 دولار 5 سنوات بفائدة
سنوية 10% .. بعد السنة الأولى .. سيكون المبلغ الكلي :

100 + (0.1 × 100) = 110

بالرموز نقول : س + ف س = س (1 + ف)

في السنة الثانية : س(1+ف) + ف س(1+ف)

= س (1+ف) (1+ف) = س (1+ف)²

... وهكذا .. بعد خمس سنوات تكون الفائدة

س (1+ف)^5 وبعد ن من السنوات : تكون :

س(1+ف)^ن

حيث س = المبلغ المودع ، ف = الفائدة المركبة

لكن هذا فى حالة أن الفائدة تضاف سنوياً،، ماذا
لو كانت الفائدة تضاف شهرياً ؟
0.1
ستجد أن الناتج فى نهاية السنة =س(س + ــــــــ)^12
12


الآن ماذا لو كانت الفائدة تضاف يومياً ؟ فإن فى خلال سنة

0.1
يكون : س(س + ــــــــــ)^365
365


ماذا لو كانت الفائدة تضاف بشكل مستمر (لحظة بلحظة) ..
يكون لدينا فائدة مركبة مقدارها :

0.1
نهـــــــا س (س + ـــــــــــــ)^ن
ن←∞ ن

فكر برنوللي فيما إذا كانت الفائدة 100% سنوياً والمبلغ الأصلي
دولاراً واحداً .. فإذا كانت الفائدة تضاف شهرياً فسنحصل على
2.613 تقريباً في نهاية السنة ، وإذا كانت إضافة الفائدة يومية
فإن سنحصل على 2.715 تقريباً في نهاية السنة

لاحظ برنوللي أن المتتالية السابقة تتقارب إلى عدد بعينه ..

وإذا كانت الفائدة تضاف بش كل مستمر ( في كل لحظة ) ..
فإننا سنحصل على .

1
نهـــــــا (1 + ــــــــ)^ن
ن←∞ ن


يمكنك أن تجرب بالآلة الحاسبة ضع مثلاً ن = 100

1
(1 + ـــــــــــ)^100 ≈ 2.7
100


ضع ن = 1000

1
(1 + ــــــــــــ)^1000 ≈ 2.7169
1000



وأخيراً نقول إن العدد النيبيرى عدد غير نسبى ويمكننا
الإستمرار هكذا الى لا نهاية من الأعداد العشرية ...


1
نهـــــــا (1 + ــــــــ)^ن ≈ 2.718281828
ن←∞ ن

........................................................
إستعمال متسلسلة ماكلورين لنشر الدالة هـ^س

د(س) = هـ^س ، دَ(س) = هـ^س ، دً(س) = هـ^س

وهكذا فإن المشتقة النونية أيضاً = هـ^س

س² س³
هـ^س = 1 + س + ـــــــــــ + ــــــــــــ + ....
2! 3!


وبوضع س = 1 للطرفين :


1 1 1
هـ = 1 + 1 + ــــــــــ + ـــــــــ + ــــــــــ + ....
2! 3! 4!


∞ 1
هـ = سيجما ــــــــــــــ
ن=0 ن!